上海高考数学中的二面角难题

卡尔顿高习 2024-07-03 09:51 1

在上海的高考数学试题中，二面角问题一直是考生们的心头大患。它不仅考验学生的立体几何基础，还考察了他们的空间想象能力和推理能力。历年真题中，二面角问题往往以复杂的情景题出现，需要考生进行缜密的分析和灵活的解题思路。

上海高考数学中的二面角难题

二面角概念与计算公式

二面角是指由两平面相交形成的角，用符号∠(α, β)表示。其中，α、β是两平面的法向量。二面角的计算公式为：

``` cos∠(α, β) = |α·β| / (|α|·|β|) ```

上海高考二面角难题实例

以2022年上海高考数学试题第17题为例：

题干：

如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=1，BC=2，AA'=3。求二面角∠(ACD, A'CB)的余弦值。

解题思路：

1. 确定二面角的两平面法向量： - 平面ACD的法向量为：n1 = AD × AB = (2, 1, 0) - 平面A'CB的法向量为：n2 = A'C × A'B' = (0, 2, 3)

2. 计算法向量的内积： - n1 · n2 = 2 × 0 + 1 × 2 + 0 × 3 = 2

3. 计算法向量的模： - |n1| = √(2^2 + 1^2 + 0^2) = √5 - |n2| = √(0^2 + 2^2 + 3^2) = √13

4. 代入计算公式： - cos∠(ACD, A'CB) = |n1 · n2| / (|n1|·|n2|) = 2 / (√5·√13) = 2√13 / 13

答案：

2√13 / 13

其他常见题型

除了计算二面角余弦值外，上海高考数学中的二面角问题还涉及以下常见题型：

求二面角的度数证明二面角垂直证明两平面平行二面角与其他立体几何图形相结合的综合性问题

应对策略

要应对上海高考数学中的二面角难题，考生需要：

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