高考数列的综合运用题讲解 高考数列的综合运用题讲解教案

2022年全国新高考1卷数学试题及详解

多做典型题

高考数学命题贯彻高考内容改革的要求，依据高中课程标准命题，进一步增强考试与教学的衔接。下面是我为大家收集的关于2022年全国新高考1卷数学试题及详解。希望可以帮助大家。

高考数列的综合运用题讲解 高考数列的综合运用题讲解教案

高考数列的综合运用题讲解 高考数列的综合运用题讲解教案

全国新高考1卷数学试题

全国新高考1卷数学详解

2022高考数学知识点 总结

1.定义：

用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2.性质：

①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

3.分类：

①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式组：

a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

4.考点：

②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题

③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集

考点一：与简易逻辑

部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查间关系的理解和认识。近年的试题加强了对计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查 抽象思维 能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重表示 方法 的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数

函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量

一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新 热点 ”题型.

考点四：数列与不等式

不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、题目.

一、排列

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.

2排列数的公式与性质

(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

规定：0!=1

二、组合

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

三、排列组合与二项解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，式定理知识点

1.计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)

2.排列(有序)与组合(无序)

Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!

Cnm=n!/(n-m)!m!

3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

捆绑法(元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

(4)列出式子计算和作答.

经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

4.二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m

二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，是中间一项还是中间两项)

所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和

Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1

③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

知识整合

1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。比较法的一般步骤是：作(商)→变形→判断符号(值)。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;

(1)数列本身的有关知识，其中有等数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与 其它 知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为一题难度较大。

1.在掌握等数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题A．d＜0B．a7＝0与解决问题的能力

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高中数学数列常见的题型有哪些？

解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，w

高中数学数列常见的题型有以下几种： 1.等数列和等比数列的通项公式和求和公式：这类题目要求学生掌握等数列和等比数列的定义、性质以及求解通项公式和求和公式的方法。

2.递推数列：这类题目要求学生根据已知的前几项或前几项之间的关系，推导出数列的通项公式。常见的递推关系有斐波那契数列、阶乘数列等。 3.数列的极限：这类题目要求学生根据数列的性解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.质，判断数列的极限是否存在，以及求出极限的值。

4.数列的单调性：这类题目要求学生判断数列的单调性，即数列是递增还是递减。 5.数列的周期性：这类题目要求学生判断数列是否具有周期性，以及找出周期的长度。

6.数列的收敛性：这类题目要求学生判断数列是否收敛，以及判断收敛的速度（如线性收敛、指数收敛等）。 7.数列的应用题：这类题目通常涉及到实际问题，要求学生运用数列的知识解决实际问题，如金融投资、人口增长等。

8.数列的综合题：这类题目A．96 B．64通常涉及到多个知识点的综合运用，要求学生在解决问题的过程中，灵活运用数列的知识。 总之，高中数学数列题型繁多，涉及的内容广泛。学生在学习过程中，需要掌握数列的基本概念、性质和求解方法，同时注重培养解决实际问题的能力。

如何运用构造法解决高考数列问题？

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

数列构造法是一种转化技巧，它通过构造函数、数列、不等式、图形等将问题从一种形式转化成另一种形式。构造数列一般是将一般的数列转化成等数列或等比数列，常见的情形有用分组求和法、错此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.位相减法等，实质是构造新的可求和数列，由递推公式求通项公式∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，，目的是更易于解决问题。

数列构造法解题的步骤和技巧

解题步骤是分析题目条件和结论的特征，确定构造的必要性，根据需要构造数学模型，将原问题转化成新的问题得出结论。数列构造题目中经常会出现小数的情况，要对结果进行取整，我们可以进行反向取整，问至少则向上取整，问至多则向下取整。

高考数列问题如何复习？

2比较与鉴别

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

主要是两个公式转换要熟练

知识整合

1。在掌握等数列、等比数列的定义、∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

2。在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3。培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

先把知识点总结一下，然后再做一些，再做一些模拟题就可以了

多做题，看概念

高中数学数列常见的题型有哪些？

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为一题难度较大。

高中数学数列常见的题型有以下几种： 1.等数列和等比数列的通项公∴c2＋c3＋…＋cn式和求和公式：这类题目要求学生掌握等数列和等比数列的定义、性质以及求解通项公式和求和公式的方法。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

2.递推数列：这类题目要求学生根据已知的前几项或前几项之间的关系，推导出数列的通项公式。常见的递推关系有斐波那契数列、阶乘数列等。 3.数列的极限：这类题目要求学生根据数列的性质，判断数列的极限是否存在，以及求出极限的值。

4.数列的单调性：这类题目要求学生判断数列的单调性，即数列是递增还是递减。 5.数列的周期性：这类题目要求学生判断数列是否具有周期性，以及找出周期的长度。

6.数列的收敛性：这类题目要求学生判断数列是否收敛，以及判断收敛的速度（如线性收敛、指数收敛等）。 7.数列的应用题：这类题目通常涉及到实际问题，要求学生运用数列的知识解决实际问题，如金融投资、人口增长等。

8.数列的综合题：这类题目通常涉及到多个知识点的综合运用，要求学生在解决问题的过程中，灵活运用数列的知识。 总之，高中数学数列题型繁多，涉及的内容广泛。学生在学习过程中，需要掌握数列的基本概念、性质和求解方法，同时注重培养解决实际问题的能力。

高考数学大题题型总结

这是一个数列的口诀，对学习数列有所帮助：

导语：高考数学就是多题型的考试，需要考生多做多总结，数学网整理了高考数学题型：多做典型题多归纳总结，帮助大家提升。接下来我将跟大家一起来分享关于高考数学大题题型总结，欢迎大家的借鉴参考!希望文章能够帮助到大家!

这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得的基础，就是解方程组的问题了。

高考数学题型：多做典型题多归纳总结

∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，

众所周知，学好数学要多做题，多做题能熟能生巧，但是多做题并不等于滥做题、盲目做题，而是要多做典型有代表性的题，比如说每年的真题，各个区的模拟考试题,高中化学，会做的就不做，专门做不熟的、针对自己薄弱的题型，反复做，只有熟能生巧后才能做题材速度上去，才能从量变到质变产生一个飞跃。

所说的“多”是指题目类型，而不仅仅单纯只是题目数量多。数学中题目多，通过合并，题目类型就有限了，只要把各种类型的题目各自做一定数量，加上细心领悟分析，就会发现题目的规律，进而归纳和总结出不同类型的题。

善归纳总结

在复习过程中，不仅要做典型的题，而且还要善于归纳总结。有些同学就只喜欢做难题，而忽略了基础忽略了做题后的归纳与总结，总结出解题过程中的方法与技巧，总结出知识点内在的区别与联系。

实际上，所谓的难题、综合题都是由几个知识点综合在一起，如果你把基础打扎实了，各个知识点弄通了，难题综合题也就迎刃而解了，你没有发现吗?每个大题都有2-4个小问题，每个小问题单独掰开来看就是一个基础题，只不过是一个小问可能与前一个小问有关联而已。只要你善于去归纳总结，你就会发现各个知识点之间的内在联系，找到它们的关键的核心问题。

高考数学大题题型总结

一、解析几何(圆锥曲线)

1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构成的图形的问题;

2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。

有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：

1、几何问题代数化。

2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。

高考解析几何解题套路及各步骤作规则

步骤一：(一化)把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来(“翻译”);

口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化;

2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化;

3、见曲线化曲线：“曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化;

步骤二：(二代)把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来;如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。

口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程;

2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程;

3、在方程组的求解中，有时候能够直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单。

二、立体几何篇

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道， 解答题1道)， 共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。 选择填空题考核立几中的计算型问题， 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题， 当然， 二者均应以正确的空间想象为前提。 随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看， 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

知识整合

1.有关平行与垂直 (线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2. 判定两个平面平行的方法：

(1)根据定义--证明两平面没有公共点;

(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：

(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质(2)、(3)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

解答题分步骤解答可多得分

1. 合理安排，保持清醒。 数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。然后带齐用具，提前半小时到考场。

2. 通览全卷，摸透题情。 刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。

3 .解答题规范有序。 一般来说，试题中容易题和中档题占全卷的80%以上，是考生得分的主要来源。对于解答题中的容易题和中档题，要注意解题的规范化，关键步骤不能丢，如三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)的表达要规范，逻辑推理要严谨，计算过程要完整，注意算理算法，应用题建模与还原过程要清晰，合理安排卷面结构……对于解答题中的难题，得满分很困难，可以采用“分段得分”的策略，因为高考(微博)阅卷是“分段评分”。比如可将难题划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，获取一定的分数。有些题目有好几问，前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根据前面的结论你能够解答出来，这时候不妨引用前面的结论先解答后面的，这样跳步解答也可以得分。

三、数列问题篇

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

知识整合

1. 在掌握等数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3. 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.

四、导数应用篇

专题综述

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的.学习，主要是以下几个方面：

1. 导数的常规问题：

(1)刻画函数(比初等方法细微);

(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);

(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。

2. 关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3. 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合

1. 导数概念的理解。

2. 利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的值与最小值。 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3. 要能正确求导，必须做到以下两点：

(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

五、排列组合篇

1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5. 了解随机的发生存在着规律性和随机概率的意义。

6. 了解等可能性的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性的概率。

7. 了解互斥、相互的意义，会用互斥的概率加法公式与相互的概率乘法公式计算一些的概率。

8. 会计算在n次重复试验中恰好发生k次的概率。

高三数学章末综合测试题数列

即an＋1＝ban＋2n.①

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．在等数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为()

A．6B．7C．8D．9

解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.

：A

2．若等数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公是()

A.12B．1C．2D．3

解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.

3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N)，则a2011等于()

A．1B．－4C．4D．5

解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…

故{an}是以6为周期的数列，

∴a2011＝a6×335＋1＝a1＝1.

：A

4．设{an}是等数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()

C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的值

又S7＞S8，∴a8＜0.

设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.

∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.设不成立，故S9＜S5.∴C错误.

5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为()

A．－12B.12

C．1或－12D．－2或12[

解析：设首项为a1，公比为q，

则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．

当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，

解得q＝1(舍去)，或q＝－12.

综上，q＝1，或q＝－12.

A．3B．4C．5D．6

∴n＝2时，an最小；n＝1时，an．

：A

7．数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()

A．a21a22B．a22a23C．a23a24D．a24a25

解析：∵3an＋1＝3an－2，

∴an＋1－an＝－23，即公d＝－23.

∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．

令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.

又n∈N，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.

8．某工厂去年产值为a，今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()

A．1.14aB．1.15a

C．11×(1.15－1)aD．10×(1.16－1)a

an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．

∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.

9．已知正数组成的等数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的值为()

A．25B．50C．100D．不存在

解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10.∴a7＋a14＝10.

又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.

：A

10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N，点an，S2nSn()

A．在直线mx＋qy－q＝0上

B．在直线qx－my＋m＝0上

C．在直线qx＋my－q＝0上

D．不一定在一条直线上

解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，②

由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0.

：B

11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为()

A．n2－nB．n2＋n＋2

C．n2＋nD．n2－n＋2

解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.

12．设m∈N，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)的值是()

A．8204B．8192

C．9218D．以上都不对

解析：依题意，F(1)＝0，

F(2)＝F(3)＝1，有2个

F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．

F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．

F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．

…F(512)＝…＝F(1023)＝9，有29个．

F(1024)＝10，有1个．

故F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.

令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①

则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②

①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210＝

2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，

∴T＝8×210＋2＝8194，m]

∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝8194＋10＝8204.

：A

第Ⅱ卷(非选择共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．若数列{an}满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．

解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，

∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，

∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.

：an＝3n－1

14．已知公不为零的等数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．

解析：设{an}的公为d，则d≠0.

M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]

＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.

：M＜N

15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.

解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上，

∴an－an－1＝6，即数列{an}为等数列．

∴an＝6n2.

∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1

：6nn＋1

16．观察下表：

1234

34567

456780

…则第__________行的各数之和等于20092.

解析：设第n行的各数之和等于20092，

则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公为1的等数列．

故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝20092，解得n＝1005.

：1005

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N)，令bn＝an－2.

(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；

(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，

∴{bn}是等比数列．

∵b1＝a1－2＝－32，

∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.

(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2

18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析：(1)由题意Sn＝2n，

得Sn－1＝2n－1(n≥2)，

两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．

当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.

∴an＝2(n＝1)，2n－1(n≥2).

b3－b2＝3，

b4－b3＝5，

…bn－bn－1＝2n－3.

以上各式相加(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．，得

bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.

∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，

∴cn＝－2(n＝1)，(n－2)×2n－1(n≥2)，

∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，

∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.

∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n

＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n

＝－2－(n－3)×2n.

∴Tn＝2＋(n－3)×2n.

19．(12分)已知等数列{an}的前n项和为Sn，公d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

解析：(1)依题意，得

3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.

∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

即an＝2n＋1.

(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)

＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.

20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.

(1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；

(2)求通项an.新课标网

解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，

ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，

两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，

(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.

于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n

＝2an－n2n－1.

又a1－120＝1≠0，

∴{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)当b＝2时，

由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1

当b≠2时，由①得

an＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n

＝ban－12－b2n，

因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.

得an＝2，n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，n≥2.

21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．

解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.

所以各车的工作时间构成首项为24，公为－13的等数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．

设还需组织(n－1)辆车，则

a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.

所以n2－145n＋3000≤0，

解得25≤n≤120，且n≤73.

所以nmin＝25，n－1＝24.

故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．

22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等数列，且公为1，n∈N.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，

得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.

∵数列{an}为等数列，且公为1，

∴an＝n－1(n∈N)．

代入y＝2x：C＋1，得bn＝2n－1(n∈N)．

(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．

＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.

∵n∈N，

(3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)，

＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.

高考数列题

高考解析几何剖析：

C．72 D．48

A[解析] 由题意及等比数列的性质知a3a7＝a2a8＝72，又a2＋a8＝27，

所以a2，a8是方程x2－27x＋72＝0的两个根，

所以a8＝3，(a2＝24，)或a8＝24，(a2＝3，)又公比大于1，

所以a8＝24，(a2＝3，)所以q6＝8，即q2＝2，

所以a12＝a2q10＝3×25＝96.

2．(必修5 P58练习T2改编)等比数列{an}的前n项之和为＝2n－2－(n－2)×2nSn，S5＝10，S10＝50，则S15的值为()

A．60 B．110

C．160 D．210

D[解析] 由等比数列前n项和性质知，S5，S10－S5，S∴b2－b1＝1，15－S10成等比数列，即(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，

所以S15＝S5(（S10－S5）2)＋S10

＝10(（50－10）2)＋50＝210.故选D.

3．(必修5 P39练习T5改编)设等数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有Tn(Sn)＝4n－3(2n－3)，则b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)的值为________．

[解析] 因为{an}，{bn}为等数列，所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝2b6(a9)＋2b6(a3)＝2b6(a9＋a3)＝b6(a6).

因为T11(S11)＝b1＋b11(a1＋a11)＝2b6(2a6)＝4×11－3(2×11－3)＝41(19)，

所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝41(19).

[] 41(19)

4．(必修5 P45练习T3，P47习题2.3B组T4联合改编)M＝{m|m＝2n，n∈N}共有n个元素，其和为Sn，则(100)Si(1)＝________．

[解析] 由m＝2n(n∈N)知M中的元素从小到大构成首项a1＝2，公d＝2的等数列．

所以Sn＝n×2＋2(n（n－1）)×2＝n2＋n＝n(n＋1)．

所以(100)Si(1)＝1×2(1)＋2×3(1)＋…＋100×101(1)

＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋100(1)－101(1)＝1－101(1)＝101(100).

[] 101(100)

5．(必修5 P44例2改编)等数列{an}的前n项之和为Sn，且a5＝28，S10＝310.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记函数f(n)＝Sn，(n∈N)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，求证△ABC的面积为定值，并求出其定值．

[解] (1)因为a5＝28，S10＝310.

所以d＝310，(10×9)

解得a1＝4，d＝6.

所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.

(2)由(1)知Sn＝4n＋2(n（n－1）)×6＝3n2＋n.

所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(n＋1)2＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)2＋n＋2)．

所以△ABC的面积S＝2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×2－2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋1)2＋(n＋1)]×1－12[3(n＋1)2＋(n＋1)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×1

＝(6n2＋14n＋14)－(3n2＋4n＋2)－(3n2＋10n＋9)

＝3.

即△ABC的面积为定值3.

高中数学中数列的重点题型有哪些？

＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.：D

高中数学中数列的重点题型主要包括以下几种： 1.等数列和等比数列的通项公式和求和公式：这是数列的基础，需要掌握等数列和等比数列的通项公式和求和公式，能够根据已知条件求解数列的某一项或者前n项和。

2.递推数列：递推数列是指每一项都是前面几项的线性组合，需要掌握递推数列的通项公式和求和公式，能够根据已知条件求解数列的某一项或者前n项和。 3.斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递归数列，需要掌握斐波那契数列的性质和应用，能够求解斐波那契数列的某一项或者前n项和。

4.调和数列：调和数列是指数列的倒数构成的数列，需要1．(必修5 P68复习参考题B组T1改编)在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝()掌握调和数列的性质和应用，能够求解调和数列的某一项或者前n项和。 5.平方数列和立方数列：平方数列和立方数列是指每一项都是前面一项的平方或者立方，需要掌握平方数列和立方数列的性质和应用，能够求解平方数列和立方数列的某一项或者前n项和。

6.等数列和等比数列的应用题：等数列和等比数列在实际应用中有很多问题，需要掌握如何将实际问题转化为等数列和等比数列的问题，并能够求解。 7.数列的综合应用题：综合应用题通常涉及到多个知识点的综合运用，需要掌握不同类型数列的性质和应用，能够灵活运用知识解决问题。

以上是高中数学中数列的重点题型，掌握这些题型对于解决数学中的数列问题非常重要。