角平分线定理证明_角平分线定理证明高中
内角平分线定理的证明
S△ABM=（1/2）·AB·AM·sin∠BAsin∠OCA=sin∠OCBM。证明过程如下：
角平分线定理证明_角平分线定理证明高中
假设在三角形ABC中，BD是∠ABC的内角平分线，相应的得到四个三角形，即ABD、EBD、BDC、CBD。
由内角和定理可知，∠ABD + ∠EBD = ∠ABC，而 ∠ABD = ∠CBD（BD是∠ABC的角平分线）定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。，所以有∠CBD + ∠EBD = ∠ABC（式1）。
同理，由内角和定理又有∠BDC + ∠CBD = ∠BCA，而 ∠BDC = ∠EBD（BD是∠ABC的角平分线），所以有∠EBD + ∠CBD = ∠BCA（式2）。
将式1 和式2 的两个等式相加可得∠CBD + ∠EBD + ∠EBD + ∠CBD = ∠ABC + ∠BCA，即2∠CBD + 2∠EBD = 180°，简化为∠EBD + ∠CBD = 90°。
因此，EB是∠ABC的内角平分线。
怎样用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点?？
角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.
3、两个角有一条公共边，且相等。求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
∵AP平分∠A,BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
∴向量CP=向量CA+向量AP,9,∵AP平分∠A, BP平分∠B ∴存在λ1,λ2,使得 向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a) ………括号里面的是根据什么得到的,
角平分线定理
∴向量AB+λ2(向量BA/cAP^2=ABAC-BPPC+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)角平分线的性质
如△ABC中,AD平分∠BAC,则BD/DC=AB/AC角平分线可以得到两个相等的角。角平分线上的点到角两边的距离相等。三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。3.角平分线的画法，利用量角器平分角，也可以利用折叠平分角。
尺规作图平分∠AOB①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边OA、OB于点M，N，分别以点M、N为圆心，以大于2分之1MN的长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP。则射线OP为∠AOB的角平分线。
平分线定理公式
∵AP平分∠A, BP平分∠B角平分线定理公式：在△ABC中，∠A的角平分线记为，∠B的角平分线记为，∠C的角平分线记为，三边边长为a、b、c，则ta=2/（b+c）根号（bcp（p-a））。
角平分线定理是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
推导面积法：
由三角形面积公式，得：
S△ACM=（1/2）·AC·AM·sin∠CAM。
∵AM是∠BAC的角平分线。
∴∠BAM为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.=∠CAM。
根据：等高底共线，面积比=底长比。
可得：S△=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）ABM：S△ACM=MB：MC，则AB：AC=MB：MC。
角分线定理是什么？
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）角分线定理：在角的平分线=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)上的点到这个角的两边的距离相等。
所以AD,BE,CF交于一点。其他定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
2、在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
逆定理：
逆定理：到这个角的两边距离相等的点在角平分线上。
角分线性质：
角平分线的性质有两点，点是角平分线将此角分为一对等角，第二点是在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
角平分线在三角形中的性质为：三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心；三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，角平分线是在角的形内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形外角平分线定理
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例。即三角形外角的平分线如果和对边的延长线相交，它按照夹相应角的两边的比外分对边。
BO为角分线三角形外角平分线定理、证明
证明：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。即：在△ABC中，若∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，则BD︰CD=AB︰AC。
过C作AD的平行线交AB于点E。
∵EC//AD
∵AD为∠BAC的外角平分线
∴∠1=∠CAD
∴∠AEC=∠1=∠CAD=∠ACE
∴AE=AC
∴BD︰CD=AB︰AC
三角形外角平分线定理的应用
2、利用外角平分线定理，在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一端等于加法运算的另一条线段；
3、利用外角平分线定理，在较短的一条线段的基础上通过延长再截取的方法将求和的两条线段连结在一起。
用向量方法证明角平分线定理
三角形内角平分线的平方，等于两条邻边的乘积，减去对边被角平分线分成的两条线段的积题目应该是证明三条角平分线交于一点。
而cos2m=AB/AC已知△ABC中,AD,BE,CF分别以上就是为大家介绍了角平分线的判定定理是什么，希望对大家有所帮助。是∠A,∠B,∠C的平分线.
求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
∴向量CP=向量CA+向量AP
=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB
这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c）,使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)
外角平分线定理
整理=bc(b+c)/(b+c)-xy：外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例。即三角形外角的平分线如果和对边的延长线相交，它按照夹相应角的两边的比外分对边。
1、基本
证明：设P是△ABC的两个外角平分线BP，CP的交点过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PH⊥AC于H根据角平分线上的点到角两边距离相等，知PE=PF，PF=PH所以PE=PH又PE⊥AB，PH⊥AC所以，由到角两边距离相等的点在角平分线上。
知：点P在∠BAC的平分线上从而说明三角形一个内角平分线与另两个内角的外角平分线交于一点。【注：三线共点的一般证法，先设两条线相交于一点，再证明第三条线也经过这一点】
1、三角形外角平分线定理的应用
（1）由角平分线的性∴S△ABM：S△ACM=AB：AC。质联想两线段相等。
（2）利用外角平分线定理，在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一端等于加法运算的另一条线段。
（3）利用外角平分线定理，在较短的一条线段的基础上通过延长再截取的方法将求和的两条线段连结在一起。
用正弦定理证明角平分线定理（高中几何）
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC证:∠BAD的补角设为α ∠CAD=β ∠D=∴sin∠BAM=sin∠CAM。γ ∠BAD=μ 则sinα=sinβ=sinμ
sinμ/sinγ===|||sinβ/sinγ 即 BD/AB=CD/AC
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